Question

21.某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面，其中

A、A′是雙曲線的頂點，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B′是下底直徑的兩個端點.已知

AA′＝14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(Ⅰ)建立坐標系并寫出該雙曲線方程；

(Ⅱ)求冷卻塔的容積(精確到10 m³,塔壁厚度不計，取3.14).

Answer 1

21.本小題考查選擇適當的坐標系建立曲線方程和解方程組等基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力.

解：(Ⅰ)如圖建立直角坐標系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點為坐標原點O，CC′與BB′平行于x軸.

設雙曲線方程為－＝1(a>0,b>0),則a=AA′=7.     　

又設B(11，y₁),C(9,y₂),因為點B、C在雙曲線上，所以有

＝1，     ①

＝1.       ②

由題意知y₂－y₁=20.         ③                                    

由①②③得y₁=－12,y₂=8,b=7.

故雙曲線方程為－=1.                                         

 

(Ⅱ)由雙曲線方程得x²=y²+49.

設冷卻塔的容積為V m³,則

V＝dy

  　 ＝dy                                

　＝(y³+49y).

經計算得V＝4.25×10³ m³.

答：冷卻塔的容積為4.25×10³ m³.