Question

（2001•江西）某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸（即雙曲線的虛軸）旋轉所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B′是下底直徑的兩個端點，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．
（Ⅰ）建立坐標系并寫出該雙曲線方程；
（Ⅱ）求冷卻塔的容積（精確到10m³，塔壁厚度不計，π取3.14）．

Answer 1

分析：（I）建立直角坐標系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點為坐標原點O，CC′與BB′平行于x軸，設出B、C的坐標，利用B、C在雙曲線上，塔高20m，可得雙曲線的標準方程；
（II）利用定積分知識，可求冷卻塔的容積．

解答：解：（I）如圖建立直角坐標系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點為坐標原點O，CC′與BB′平行于x軸．
設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，則a=

1

2

AA′=7．
又設B（11，y₁），C（9，y₂），
因為點B、C在雙曲線上，所以有

112

72

-

y 2 1

b2

=1，①

92

72

-

y 2 2

b2

=1，②
由題意知y₂-y₁=20．③
由①、②、③得y1=-12，y2=8，b=7

2

．
故雙曲線方程為

x2

49

-

y2

98

=1；
（II）由雙曲線方程得x2=

1

2

y2+49．
設冷卻塔的容積為V（m³），則V=π

∫

y2 y1

x2dy=π

∫

8 -12

(

1

2

y2+49)dy=π(

1

6

y3+49y)

|

8 -12

，
∴V≈4.25×10³（m³）．
答：冷卻塔的容積為4.25×10³（m³）．

點評：本小題考查選擇適當的坐標系建立曲線方程和解方程組等基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力．