Question

【題目】已知函數（）在其定義域內有兩個不同的極值點.

（Ⅰ）求實數的取值范圍；

（Ⅱ）記兩個極值點分別為， （），求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導，將函數由兩個不等極值轉化為導函數有兩個不等零點，再進一步轉化為兩函數圖象的交點問題；（Ⅱ）合理構造函數，將證明不等式轉化為求函數的最值問題，再利用導數進行求解.

試題解析：（Ⅰ）依題，函數的定義域為，所以方程在有兩個不同根，即方程在有兩個不同根.即函數與函數的圖象在上有兩個不同交點，可見，若令過原點且切于函數圖象的直線斜率為，只須.令切點，所以，又，所以，

解得， ，于是，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 分別是方程的兩個根，即.

作差得， ，即.

所以不等式，等價于，

下面先證，即證，

令，∵，∴，即證（），

令（），則，

∴在上單調遞增，∴，

即得證，從而得證；

再證，即證，即證（），

令（），則，

∴在上單調遞減，∴，

即得證，從而得證，

綜上所述， 成立，即.