Question

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合于B，構成一個三棱錐(如圖所示)．

（Ⅰ）在三棱錐上標注出、點，并判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；

（Ⅱ）是線段上一點，且,問是否存在點使得,若存在，求出的值;若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）參考解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過翻折可知B點和C點對應的位置.所以可以相應地找到M,N點的位置.然后說明直線與平面AEF平行.

（Ⅱ）根據題意證得直線AB平面AEF.所以只需要動點G與點B重合即可得到AB平面EGF.所以可得.本小題雖然是動點的問題但是通過證明線面垂直后再把動點移到特殊的位置即可.

（Ⅲ）由于AB垂直于平面BEF，所以易計算三棱錐A-BEF的體積.同時四棱錐E-AFNM的體積與三棱錐E-BMN的體積比等于它們底面積的比.體積比轉化為面積比的問題.從而可求出四棱錐E-AFMN的體積.本小題的體積求法有點技巧，要學會相互轉化.

試題解析：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應是的一條中位線，如圖所示.

則                             2分

證明如下：． 4分

（Ⅱ）存在點使得，此時

因為面EBF

又是線段上一點，且,

∴ 當點與點B重合時，此時               8分

（Ⅲ）因為

且，

∴，                    9分

又

           12分

考點：1.圖形的翻折.2.線面平行.3.線面垂直.4.四棱錐的體積.