Question

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構成一個三棱錐．

（1）判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；

（2）證明AB⊥平面BEF；

（3）求多面體E-AFNM的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1），證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】(I)顯然可判斷出MN//AF,所以MN//平面AEF.

（2）由平面圖形可知,即立體圖形中，問題得證.

(3)可利用來求體積.

解：，   ………1分

證明如下：

因翻折后B、C、D重合（如圖），

所以MN應是的一條中位線，…………3分

則．………6分

（2）因為 且

平面BEF，                           …………8分

(3)  方法一 ，

∴，     ………………10分

又  ……………12分

∴．     ………………………14分

方法二：

  ………………10分

由（2）知AB即是三棱錐A-BEF的高，AB=4

MB即是三棱錐M-BEN的高，MB=2，……………………11分

……………………13分

   …………………14分