Question

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為,構(gòu)成一個(gè)三棱錐．

（1）請判斷與平面的位置關(guān)系，并給出證明；

（2）證明平面；

（3）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）平行；（2）證明和即可；（3）

【解析】

試題分析：本題考查空間想象能力，在折疊過程中，找到不變的量是求解的關(guān)鍵.（1）由中位線定理，可證明平行；（2）證明和即可；（3）注意到三角形MEF、BEF都是等腰三角形，因此，取EF的中點(diǎn)即可求出二面角.

試題解析：（1）平行平面

證明：由題意可知點(diǎn)在折疊前后都分別是的中點(diǎn)（折疊后兩點(diǎn)重合）

所以平行,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923171336914205/SYS201310292318481043601913_DA.files/image010.png">，所以平行平面.

（2）證明：由題意可知的關(guān)系在折疊前后都沒有改變.

因?yàn)樵谡郫B前，由于折疊后，點(diǎn)，所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923171336914205/SYS201310292318481043601913_DA.files/image014.png">，所以平面.

（3）解：

所以是二面角的平面角.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923171336914205/SYS201310292318481043601913_DA.files/image021.png">⊥，所以.

在中， ，由于，所以，

于是.

所以，二面角的余弦值為.

考點(diǎn)：1、線面平行；2、線面垂直的判定；3、二面角的概念及其求法.