Question

在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，中線AM、BN交于點P，設

AB

=

c

，

AC

=

b

，求：
（1）用

b

、

c

表示

AM

、

BN

、

CP

，并求|

CP

|的值；
（2）若直線l是BC的中垂線，O是l上一動點，求

AO

•

BC

的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,向量的模

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量的平行四邊形法則、三角形的重心定理、數量積的性質即可得出；
（2）利用中垂線的性質可得

OM

•

BC

=0．再利用向量的三角形法則和數量積的性質可得

AO

•

BC

=(

OM

+

MA

)•

BC

=

MA

•

BC

=-

1

2

(

AC

+

AB

)•(

AC

-

AB

)，即可得出．

解答： 解：（1）設CP交AB于點D．
∵中線AM、BN交于點P，設

AB

=

c

，

AC

=

b

，
∴

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)=

1

2

(

c

+

b

)，

BN

=

1

2

(

BA

+

BC

)=

1

2

(

BA

+

AC

-

AB

)=

1

2

(-2

AB

+

AC

)=-

c

+

1

2

b

，

CP

=

2

3

CD

=

2

3

×

1

2

(

CA

+

CB

)=

1

3

(-

AC

+

AB

-

AC

)=-

2

3

b

+

1

3

c

．
∵AB=2，AC=6，∠BAC=60°，
∴

CP

2=(-

2

3

b

+

1

3

c

)2=

4

9

b

2+

1

9

c

2-

4

9

b

•

c

=

4

9

×62+

1

9

×22-

4

9

×6×2×cos60°
=

124

9

．
（2）∵OM⊥BC，∴

OM

•

BC

=0．
∵

AO

=

OM

+

MA

，

BC

=

AC

-

AB

．
∴

AO

•

BC

=(

OM

+

MA

)•

BC

=

MA

•

BC

=-

1

2

(

AC

+

AB

)•(

AC

-

AB

)
=-

1

2

(

AC

2-

AB

2)
=-

1

2

(62-22)
=-16．

點評：本題考查了向量的平行四邊形法則、三角形的重心定理、數量積的性質、中垂線的性質、向量的三角形法則等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．