Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓的長軸長為4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓交于兩點，是否存在實數使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）利用橢圓的長軸長為4，可得，結合離心率可得，從而可得方程；

（2）聯立方程，結合韋達定理，驗證是否成立即可.

（1）設橢圓的半焦距為，則由題設，得：，

解得，

所以，

故所求橢圓的方程為.

（2）存在實數使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點．

理由如下：

設點，

將直線的方程代入，

并整理，得．（*）

則．

因為以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點，

所以，即．

又，

于是，

解得，

經檢驗知：此時（*）式的，符合題意．

所以當時，以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點．