Question

焦點在x軸上的橢圓C的一個頂點為B（0，-1），右焦點到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，使得|BM|=|BN|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說出理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由題意可得

b=1 |c+2 2 | 2 =3 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）假設存在存在斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，使得|BM|=|BN|．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為R（x₀，y₀），設直線l的方程為y=kx+m．與橢圓的方程聯立可得△＞0即根與系數的關系，即可得到等R的坐標，由于BR⊥MN，可得k_BR•k_MN=-1，代入△＞0即可．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由題意可得

b=1 |c+2 2 | 2 =3 a2=b2+c2

，解得

a2=3 c2=2，b=1

，∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）假設存在存在斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，使得|BM|=|BN|．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為R（x₀，y₀），設直線l的方程為y=kx+m．
聯立

y=kx+m x2+3y2=3

，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，∵△=36k²m²-12（1+3k²）（m²-1）＞0，化為m²＜1+3k²（*）
∴x1+x2=-

6km

1+3k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

．∴y₀=kx₀+m=

m

1+3k2

．∴R(-

3km

1+3k2

，

m

1+3k2

)．
∵BR⊥MN，∴k_BR•k_MN=-1，得

m 1+3k2 +1

- 3km 1+3k2

×k=-1，化為2m=1+3k²，代入（*）得k²＜1，∵k≠0，∴解得-1＜k＜1且k≠0．即k的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到△＞0即根與系數的關系、直線垂直與斜率的關系等是解題的關鍵．