Question

中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的焦距為2，兩準線間的距離為10．設A（5，0），B（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作直線與橢圓C只有一個公共點D，求過B，D兩點，且以AD為切線的圓的方程；
（3）過點A作直線l交橢圓C于P，Q兩點，過點P作x軸的垂線交橢圓C于另一點S．若

AP

=t

OA

（t＞1），求證：

SB

=t

BQ

．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，依題意得：

2c=2 2a2 c =10

，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設過點A的直線方程為：y=k（x-5），代入橢圓方程

x2

5

+

y2

4

=1得（4+5k²）x²-50k²x+125k²-20=0．依題意得：△=（50k²）²-4（4+50k²）（125k²-20）=0，由此能求出過B，D兩點，且以AD為切線的圓的方程．
（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

AP

=t

AQ

得：

x1-5=t(x2-5) y1=ty2

，代入

x12 5 + y12 4 =1 x22 5 + y22 4 =1

，所以

x1=-2t+3 x2= 3t-2 t

，由此能夠證明

SB

=t

BQ

．

解答：解：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
依題意得：

2c=2 2a2 c =10

，得

c=1 a= 5

，
∴b²=4所以，橢圓的標準方程為

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）設過點A的直線方程為：y=k（x-5），
代入橢圓方程

x2

5

+

y2

4

=1，
得（4+5k²）x²-50k²x+125k²-20=0（*）
依題意得：△=0，
即（50k²）²-4（4+50k²）（125k²-20）=0
得：k=±

5

5

，
且方程的根為x=1，
∴D(1，±

4 5

5

)，
當點D位于x軸上方時，過點D與AD垂直的直線與x軸交于點E，
直線DE的方程是：y-

4 5

5

=

5

(x-1)，
∴E(

1

5

，0)．
所求圓即為以線段DE為直徑的圓，
故方程為：(x-

3

5

)2+(y-

2 5

5

)=

24

25

同理可得：當點D位于x軸下方時，
圓的方程為：(x-

3

5

)2+(y+

2 5

5

)=

24

25

．
（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由

AP

=t

AQ

，
得：

x1-5=t(x2-5) y1=ty2

，
代入

x12 5 + y12 4 =1 x22 5 + y22 4 =1

，
∴

x1=-2t+3 x2= 3t-2 t

（**），
要證

SB

=t

BQ

，即證

1-x1=t(x2-1)…(1) y1=ty2…(2)

，
由方程組（**）可知方程組（1）成立，（2）顯然成立．
∴

SB

=t

BQ

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．