Question

【題目】設銳角△ABC的外接圓上的任意一點P所對應的西姆松線為，P的對徑點為，與的交點為。證明:對上兩點P、Q，當且僅當時，關于點N對稱，其中，N為△ABC的九點圓的圓心。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證明下面的引理.

引理1 △ABC的任兩條西姆松線不平行,

證明 否則，設分別與直線AB、AC交于點.

由與位似知其外接圓位似，位似中心為A.故三點共線，這與點都在上矛盾.

引理2當且僅當為的對徑點時，，且的交點在九點圓上

證明 充分性.

設是上的對徑點，對應的西姆松線分別為，其中，分別為，在上的射影.

易知，點在以為直徑的圓上，且.

故圓內接四邊形與圓內接四邊形相似，且與交于點分別是的中點不妨設與凸四邊形內部不相交(如圖).

設PP2與所夾角為.

則.

易知分別為的中點.

則，

故

從而，點K在的外接圓的弧上.

又，

，

其中，R為的半徑，也是的直徑，則.

必要性.

設與的交點為S、T(也許S=T，且由充分性的證明知，必與有交點).

過點S、T與垂直的直線各有一條，由充分性知其中必有一條為(設其過點S).

又由引理1知上述兩條直線至多有一條是西姆松線，故由，且的交點在上知Q=P'，即P、Q為的對徑點.

引理3對的兩條不同的直徑PP'、QQ'，有P"≠Q".

證明 由引理2充分性的結論易證.

回到原題.

充分性.

對的直徑PP'、QQ'，且PP'⊥QQ'.不妨設PP'不與凸四邊形內部相交，且PP’與的夾角分別為.

由QQ'⊥PP'，則QQ'與的夾角分別為.

不妨設QQ'不與凸四邊形內部相交.則由引理2知，在上，有，

且，.

故為的對徑點.

必要性.(同一法)

由充分性及引理3易證.