Question

【題目】在三棱錐中，平面，，，，為的中點，為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）在線段上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置并給出證明，若不存在，說明理由；

（3）若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）存在，點為上靠近的四等分點即 （3）120°

【解析】

（1）證明，得到平面，得到答案.

（2）取的中點，連接，證明得到答案.

（3）如圖所示建立空間直角坐標系，計算面的一個法向量為，面的一個法向量為，計算夾角得到答案.

（1）平面，面，，

又因為，，面，平面，

而平面，平面平面

（2）存在點為上靠近的四等分點即時，平面.

取的中點，連接，是的中點，為的中點，.

面，面，平面.

為的中點，，，

面，面，平面.

，面，面平面.

面，平面.

（3）過作于，則平面，過作的平行線交于，以為坐標原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，面的一個法向量為

若，，，，，，，從而，，，，

面的一個法向量為，，，

則，即，即

取，則

從而，

因為二面角是鈍二面角，所以二面角的大小是120°.