Question

設正數數列{a_n}的前n項之和為S_n滿足S_n=(

an+1

2

)2
①先求出a₁，a₂，a₃，a₄的值，然后猜想數列{a_n}的通項公式，并用數學歸納法加以證明．
②設bn=

1

anan+1

，數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：①求出數列的前若干項，歸納出一般結論，用數學歸納法證明．
③把通項 bn=

1

anan+1

 裂項變為

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

 ），其前n項的和 T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

 -

1

5

）+（

1

5

- 

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

 ） 化簡可得結果．

解答：解：①在 S_n=(

an+1

2

)2中，令n=1可得，a₁=(

a1+1

2

)2，∴a₁=1． 令n=2 可得，1+a₂=(

a2+1

2

)2，
 a₂ =3，同理可求，a₃=5，a₄=7．
猜測a_n=2n-1．
證明：當n=1時，猜測顯然成立，假設   a_k=2k-1，
則由  a_k+1=s_k+1-s_k=(

ak+1+1

2

)2-(

ak+1

2

)2=(

ak+1+1

2

)2-k²，解得 a_k+1=2k+1，
故n=k+1時，猜測仍然成立，
③∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

 ），
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

 -

1

5

）+（

1

5

- 

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

 ）
=

n

2n+1

．

點評：本題考查歸納推理，用數學歸納法證明等式，用裂項法進行數列求和，裂項求和是解題的難點．