Question

設正數數列{a_n}的前n項之和是b_n，數列{b_n}前n項之積是c_n，且b_n+c_n=1，則數列{

1

an

}中最接近108的項是第

10

項．

Answer 1

分析：由題意可得，a1=b1=c1=

1

2

，由b_n+c_n=1可得b_n+1=b_n+1（b_n+c_n）=b_n+1b_n+b_n+1C_n=b_n+1b_n+c_n+1=b_nb_n+1+1-b_n+1即2b_n+1-b_nb_n+1-1=0，則b_n+1-1=b_n+1（b_n-1）=（b_n-1）（b_n+1-1+1）=（b_n-1）（b_n+1-1）+（b_n-1），從而可得

1

bn-1

=1+

1

bn+1-1

，由等差數列的通項公式可得，

1

bn-1

=-2+(n-1)×(-1)可求bn=

n

n+1

，利用遞推公式a_n=b_n-b_n-1可求a_n

解答：解：由題意可得，a1=b1=c1=

1

2

b_n+c_n=1
∴b_n+1=b_n+1（b_n+c_n）=b_n+1b_n+b_n+1C_n
=b_n+1b_n+c_n+1=b_nb_n+1+1-b_n+1
∴2b_n+1-b_nb_n+1-1=0
∴b_n+1（2-b_n）=1
∴0＜b_n＜2
若b_n+1=1則b_n=1，b_n-1=b_n-2=…=b₁=1與b1=

1

2

矛盾
∴b_n+1≠1
∴b_n+1-1=b_n+1（b_n-1）
=（b_n-1）（b_n+1-1+1）
=（b_n-1）（b_n+1-1）+（b_n-1）
∴

1

bn-1

=1+

1

bn+1-1

∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=-1且

1

b1-1

=-2
∴{

1

bn-1

}是以-2為首項，以-1為公差的等差數列
由等差數列的通項公式可得，

1

bn-1

=-2+(n-1)×(-1)=-n-1
∴bn=

n

n+1

∴a_n=b_n-b_n-1=

n

n+1

-

n-1

n

=

1

n(n+1)

∴

1

an

=n(n+1)
當n=10時，10×11=110，當n=11時，11×12=132，當n=9時，9×10=90，
故答案為：10

點評：本題目主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項，解題中的構造特殊的等差數列是解答本題的關鍵，對本題要求考生具備一定的邏輯推理的能力