Question

【題目】設數列的前項的和為且數列滿足且對任意正整數都有成等比數列.

（1）求數列的通項公式.

（2）證明數列為等差數列.

（3）令問是否存在正整數使得成等比數列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明；（3）見證明

【解析】

（1）利用項和公式求數列的通項公式.(2)由題得，，即，再求出，再利用等差數列的定義證明數列為等差數列.(3) 先求出，所以，根據成等比數列得，即，再求出m，k的值.

（1）因為數列的前項的和，

所以當時，；

當且時，，

當時，上式也成立，

所以數列的通項公式為.

（2）證明：因為對任意正整數都有成等比數列，

所以，即，

所以，

兩式相除得，對任意正整數都有，

即，

當為奇數時，，所以，

當為偶數時，，而，所以，

所以.

所以，

所以數列為等差數列.

(3)因為，

所以，

因此存在正整數，使得成等比數列

，

因為都是正整數，則，

即時，對應的.

所以存在或或使得成等比數列.