Question

已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于直線l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）設C₂與x軸交于點Q，不同的兩點R，S在C₂上，且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由離心率為，求出a，b，c的關系，再利用直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切，求出b即可求橢圓C₁的方程；
（2）把題中條件轉化為動點M的軌跡是以l₁：x=-1為準線，F₂為焦點的拋物線，即可求點M的軌跡C₂的方程；
（3）先設出點R，S的坐標，利用求出點R，S的坐標之間的關系，再用點R，S的坐標表示出，利用函數求最值的方法即可求的取值范圍．
解答：解：（1）由得2a²=3b²，又由直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，
得，，∴橢圓C₁的方程為：．（4分）
（2）由MP=MF₂得動點M的軌跡是以l₁：x=-1為準線，
F₂為焦點的拋物線，∴點M的軌跡C₂的方程為y²=4x．（8分）
（3）Q（0，0），設，
∴，
由，得，∵y₁≠y₂
∴化簡得，（10分）
∴（當且僅當y₁=±4時等號成立），
∵，
又∵y₂²≥64，∴當y₂²=64，即y₂=±8時，
∴的取值范圍是．（13分）
點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯立讓對應方程的判別式為0求解．