Question

如圖，在由圓O：x²+y²=1和橢圓C：

x2

a2

+y2=1（a＞1）構成的“眼形”結構中，已知橢圓的離心率為

6

3

，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得

OA

•

OB

=

1

2

OM

2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓C：

x2

a2

+y2=1（a＞1）的離心率為

6

3

，可得a²=3，從而可求橢圓C的方程；
（2）假設存在直線l，使得

OA

•

OB

=

1

2

OM

2，當直線l垂直于x軸時，不符合題意，故設直線l方程為y=kx+b，由直線l與圓O相切，可得b²=k²+1，直線l代入橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1，可得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），進而利用

OA

•

OB

=

1

2

OM

2，即可知存在直線l．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+y2=1（a＞1）的離心率為

6

3

，
∴e=

a2-1

a

=

6

3

解得：a²=3，所以所求橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1         （5分）
（2）假設存在直線l，使得

OA

•

OB

=

1

2

OM

2，
當直線l垂直于x軸時，不符合題意，故設直線l方程為y=kx+b，
由直線l與圓O相切，可得b²=k²+1 …（1）（7分）
直線ly=kx+b代入橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1，可得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x1+x2=-

6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1 +x2)+b2=

4b2-3k2-3

1+3k2

=

1

2

…（2）
由（1）（2）可得k²=1，b²=2
故存在直線l，方程為y=±x±

2

，使得

OA

•

OB

=

1

2

OM

2．

點評：本題以橢圓的幾何性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，同時考查了存在性問題，合理運用向量的數量積運算是解題的關鍵．