Question

函數f（x）是定義在R上的偶函數，且滿足f（1+x）=f（1-x），當x∈[0，1]時，f（x）=2x，若在區間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：由f（1+x）=f（1-x）以及函數的奇偶性得到f（x+2）=f（x），得到函數的周期是2，利用函數的周期性和奇偶性作出函數f（x）的圖象，由ax+2a-f（x）=0等價為f（x）=a（x+2），利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：若在區間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個不相等的實數根，等價為f（x）=a（x+2）有四個不相等的實數根，
即函數f（x）和g（x）=a（x+2），有四個不相同的交點，
∵f（x+2）=f（x），∴函數的周期是2，
當-1≤x≤0時，0≤-x≤1，此時f（-x）=-2x，
∵f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（-x）=-2x=f（x），
即f（x）=-2x，-1≤x≤0，
作出函數f（x）和g（x）的圖象，
當g（x）經過A（1，2）時，兩個圖象有3個交點，此時g（1）=3a=2，解得a=

2

3

當g（x）經過B（3，2）時，兩個圖象有5個交點，此時g（3）=5a=2，解得a=

2

5

，
要使在區間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個不相等的實數根，
則

2

5

＜a＜

2

3

，
故答案為：

2

5

＜a＜

2

3

點評：本題主要考查方程根的公式的應用，利用方程和函數之間的關系，轉化為兩個函數的交點問題，利用數形結合是解決本題的關鍵．