Question

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

ax

x+2

，它在原點(diǎn)處的切線恰為x軸．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；
（3）證明：ln2•ln3…lnn＞

2 n

(n+1 ) 2

(n∈N，n≥2)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′（0）=0，從而求出a值，最后寫出f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=

x2

(x+1)(x+2)2

≥0，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（0）=0，即可證得結(jié)論；
（3）由（2）知，當(dāng)x＞0時(shí)，ln（1+x）＞

2x

x+2

，分別令x=1，2，3，…，n．得到n個(gè)不等關(guān)系，再將以上各式相乘即得．

解答：解：（1）由題意f(x)=ln(x+1)-

ax

x+2

得，
f′（x）=

1

x+1

-

2a

(x+2)2

，
由于函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

ax

x+2

在原點(diǎn)處的切線恰為x軸．
∴f′（0）=0，即1-

2a

4

=0，
∴a=2．
∴f（x）的解析式f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=

x2

(x+1)(x+2)2

≥0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（3）由（2）知，當(dāng)x＞0時(shí)，ln（1+x）＞

2x

x+2

，
∴l(xiāng)n2＞

2

3

，ln3＞

4

4

，ln4＞

2×3

5

，…，lnn＞

2×(n-1)

n+1

，（n≥2），
以上各式相乘，得ln2•ln3…lnn＞

2n

n(n+1)

＞

2 n

(n+1) 2

(n∈N，n≥2)，
從而結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．