Question

【題目】已知函數f（x）3,g（x）＝alnx﹣2x（a∈R）.

（1）討論g（x）的單調性；

（2）是否存在實數a,使不等式f（x）≥g（x）恒成立？如果存在,求出a的值；如果不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在,

【解析】

（1）先對函數求導,然后結合導數與單調性關系對a進行分類討論即可求解；

（2）要使不等式f（x）≥g（x）恒成立即xex﹣aelnx+2ex﹣3e≥0,構造函數u（x）＝xex﹣aelnx+2ex﹣3e,結合函數的性質及導數即可求解.

解：（1）,x＞0,

（i）當a≤0時,g′（x）＜0,函數在（0,+∞）上單調遞減,

（ii）當a＞0時,令得，令，得，

所以函數g（x）在（0,）上單調遞增,在（）上單調遞減,

（2）要使不等式f（x）≥g（x）恒成立即恒成立,

即xex﹣aelnx+2ex﹣3e≥0,令u（x）＝xex﹣aelnx+2ex﹣3e,則u（1）＝0,

要使得原不等式成立,則u（x）在x＝1處取得極小值,

因為,

所以u′（1）＝0可得a＝4,

檢驗a＝4時,u′（x）,

設v（x）＝x（x+1）ex+2ex﹣4e,且v（1）＝0,

顯然v（x）在（0,+∞）上單調遞增,

當x∈（0,1）時,v（x）＜0,即u′（x）＜0,u（x）單調遞減,當x∈（1,+∞）時,v（x）＞0,即u′（x）＞0,u（x）單調遞增,

故u（x）的最小值u（1）＝0,滿足題意,

綜上，a＝4.