Question

（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且橢圓C經過點．
（I）求橢圓C的離心率：
（II）設過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

（I）（II）點Q的軌跡方程為10（y﹣2）²﹣3x²=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）

（I）∵橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且橢圓C經過點．
∴c=1，2a=PF₁+PF₂==2，即a=
∴橢圓的離心率e===…4分
（II）由（I）知，橢圓C的方程為，設點Q的坐標為（x，y）
（1）當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于（0，1）、（0，﹣1）兩點，此時點Q的坐標為（0，2﹣）
（2）當直線l與x軸不垂直時，可設其方程為y=kx+2，
因為M，N在直線l上，可設點M，N的坐標分別為（x₁，kx₁+2），（x₂，kx₂+2），則
，，又|AQ|²=（1+k²）x²，
∴，即=…①
將y=kx+2代入中，得（2k²+1）x²+8kx+6=0…②
由△=（8k）²﹣24（2k²+1）＞0，得k²＞
由②知x₁+x₂=，x₁x₂=，代入①中化簡得x²=…③
因為點Q在直線y=kx+2上，所以k=，代入③中并化簡得10（y﹣2）²﹣3x²=18
由③及k²＞可知0＜x＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）
由題意，Q（x，y）在橢圓C內，所以﹣1≤y≤1，
又由10（y﹣2）²﹣3x²=18得（y﹣2）²∈[，）且﹣1≤y≤1，則y∈（，2﹣）
所以，點Q的軌跡方程為10（y﹣2）²﹣3x²=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）…13分