Question

已知橢圓的離心率為，且橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）如圖，設直線與橢圓交于兩點（其中點在第一象限），且直線與定直線交于點，過作直線交軸于點，試判斷直線與橢圓的公共點個數．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）一個.

試題分析：（Ⅰ）利用、、之間的相互關系與題設條件求出、、的值，從而確定橢圓的標準方程；（Ⅱ）根據題設條件分別點、、的坐標，進而求出直線的方程，再聯立直線和橢圓的標準方程，利用法確定直線與橢圓的公共點個數.
試題解析：（Ⅰ）設，易知，又，得，于是有．
故橢圓的標準方程為．      4分
（Ⅱ）聯立得，
的坐標為．故．

依題意可得點的坐標為．設的坐標為，  故．
因為，所以，解得，
于是直線的斜率為，                  8分
從而得直線的方程為：，代入，
得，
即，知，
故直線與橢圓有且僅有一個公共點．                           13分