Question

已知函數f（x）=lgkx，g（x）=lg（x+1）．
（Ⅰ）當k=1時，求函數y=f（x）+g（x）的單調區間；
（Ⅱ）若方程f（x）=2g（x）僅有一個實根，求實數k的取值集合．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：本題（Ⅰ）利用k=1對f（x）+g（x）進行化簡，然后根據復合函數的單調性規律，求出函數的單調區間；（Ⅱ）將方程f（x）=2g（x）等價轉化為普通的一元二次不等式，然后對一元二次不等式的解進行研究，得到本題的答案．

解答： 解：（Ⅰ）當k=1時，y=f（x）+g（x）=lgx+lg（x+1）=lg[x（x+1）]（其中x＞0）
∵y=x（x+1）在（0，+∞）單調遞增，且值域為（0，+∞），
∴y=f（x）+g（x）的單調遞增區間為（0，+∞），不存在單調遞減區間．
（Ⅱ）由f（x）=2g（x），即lgkx=2lg（x+1）．該方程可化為不等式組

kx＞0 x+1＞0 kx=(x+1)2

，
①若k＞0時，則x＞0，原問題即為：方程kx=（x+1）²在（0，+∞）上有且僅有一個根，
即x²+（2-k）x+1=0在（0，+∞）上有且僅有一個根，
由x₁•x₂=1＞0知：△=0．
解得k=4；
②若k＜0時，則-1＜x＜0，原問題即為：方程kx=（x+1）²在（-1，0）上有且僅有一個根，
即x²+（2-k）x+1=0在（-1，0）上有且僅有一個根，
記h（x）=x²+（2-k）x+1，
由f（0）=1＞0知：f（-1）＜0，
解得k＜0．
綜上可得k＜0或k=4．
∴實數k的取值集合為{k|k＜0或k=4}．

點評：本題考查的是復合函數單調性、函數的定義域、一元二次函數的圖象和性質，還考查了分類討論的數學思想．本題有一定的綜合性，對學生能力要求較高，屬于中檔題．