Question

在△ABC中，a，b，c成等比數列，
（1）若B是A和C的等差中項，求A；
（2）若b=1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：等差數列與等比數列,解三角形

分析：（1）利用等差數列與等比數列的定義、余弦定理、等邊三角形的性質即可得出；
（2）利用余弦定理、基本不等式、正弦函數的單調性、三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵2B=A+C，且A+B+C=180°，∴B=60°．
又b²=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac，且b²=ac，
∴（a-c）²=0
∴a=c，
故A=60°．
（2）∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-b2

2ac

=

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴0＜B≤

π

3

，進而0＜sinB≤

3

2

．
∴S△=

1

2

acsinB≤

1

2

×12×

3

2

=

3

4

．
∴（S_△ABC）_max=

3

4

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的定義、余弦定理、等邊三角形的性質、基本不等式、正弦函數的單調性、三角形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．