Question

已知a＞

1

2

且a≠1．條件p：函數f（x）=log_（2a-1）x在其定義域上是減函數；條件q：函數g(x)=

x+|x-a|-2

的定義域為R．如果p∨q為真，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據對數函數的單調性求得命題p為真時a的取值范圍；利用絕對值函數的最小值，分析求解命題q為真時a的范圍，
根據復合命題真值表知如果p∨q為真，則命題p、q至少一個為真，故只需求并集可得答案．

解答：解：∵函數f（x）=log_（2a-1）x在其定義域上是減函數，
∴0＜2a-1＜1⇒

1

2

＜a＜1，
故命題p為真，則

1

2

＜a＜1，
∵函數g(x)=

x+|x-a|-2

的定義域為R，即x+|x-a|-2≥0對?x∈R恒成立，
則f（x）=

2x-a-2，   x≥a a-2，          x＜a

的最小值為a-2，
∴a-2≥0⇒a≥2；
故命題q為真，則a≥2，
由復合命題真值表知，如果p∨q為真，則命題p、q至少一個為真，
∴a的取值范圍為（

1

2

，1）∪[2，+∞）．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查對數函數的單調性及絕對值函數的最值，解題的關鍵是求出組成復合命題的簡單命題為真時的條件．