Question

已知a＞0且a≠1，f（x）是奇函數(shù)，φ（x）=（a-1）f（x）（

1

ax-1

+

1

2

）
（1）判斷?（x）的奇偶性，并給出證明；
（2）證明：若xf（x）＞0，則?（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再看?（x）與?（-x）的關(guān)系即可得結(jié)論；
（2）先判斷出x＞0時對應(yīng)f（x）的正負，再對a分大于1和大于0小于1兩種情況討論，分別得出

1

ax-1

+

1

2

的正負，綜合即可證明x＞0時，?（x）＞0；
再利用偶函數(shù)的性質(zhì)?（x）=?（-x）即可證明x＜0時，?（x）＞0．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x）
又?（x）的定義域為{x∈R|x≠0}2分）
∴?(-x)=(a-1)f(-x)(

1

a-x-1

+

1

2

)=(a-1)f(-x)(

ax

1-ax

+

1

2

)
=(a-1)f(-x)(

1

1-ax

-

1

2

)=(a-1)f(x)(

1

ax-1

+

1

2

)=?(x)
∴?（x）是偶函數(shù)．（6分）
（2）若x＞0，則由已知，f（x）＞0，（7分）
①當a＞1時

1

ax-1

+

1

2

＞0，a-1＞0∴?（x）＞0
②當0＜a＜1時

1

ax-1

+

1

2

＜0，a-1＜0，∴?（x）＞0，（10分）
又?（x）是偶函數(shù)，
∴x＜0，?（x）=?（-x）＞0．（11分）
故當xf（x）＞0時，?（x）＞0．（12分）

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性．在證明或判斷一個函數(shù)的奇偶性時，一定要先看定義域是否關(guān)于原點對稱，再看f（-x）和f（x）的關(guān)系．