Question

【題目】已知向量，，，，函數，的最小正周期為．

（1）求的單調增區間；

（2）方程；在上有且只有一個解，求實數n的取值范圍；

（3）是否存在實數m滿足對任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得++m（-）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）或（3）存在，且m取值范圍為

【解析】

（1）函數，的最小正周期為．可得，即可求解的單調增區間．

（2）根據x在上求解的值域，即可求解實數n的取值范圍；

（3）由題意，求解的最小值，利用換元法求解的最小值，即可求解m的范圍．

（1）函數f（x）1＝2sin2（ωx）cos（2ωx）﹣1

＝sin（2ωx）cos（2ωx）

＝2sin（2ωx）

∵f（x）的最小正周期為π．ω＞0

∴，

∴ω＝1．

那么f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x）

令2x，k∈Z

得：x

∴f（x）的單調增區間為[，]，k∈Z．

（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；在[0，]上有且只有一個解，

轉化為函數y＝f（x）+1與函數y＝2n只有一個交點．

∵x在[0，]上，

∴（2x）

那么函數y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域為[，2]，結合圖象可知

函數y＝f（x）+1與函數y＝2n只有一個交點．

那么2n＜1或2n＝2，

可得或n＝1．

（3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）

∴f（x2）min＝﹣2．

實數m滿足對任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，

使得m（）+1＞f（x2）成立．

即m（）+1＞﹣2成立

令ym（）+1

設t，那么（）2+2＝t2+2

∵x1∈[﹣1，1]，

∴t∈[，]，

可得t2+mt+5＞0在t∈[，]上成立．

令g（t）＝t2+mt+5＞0，

其對稱軸t

∵t∈[，]上，

∴①當時，即m≥3時，g（t）min＝g（），解得；

②當，即﹣3＜m＜3時，g（t）min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；

③當，即m≤﹣3時，g（t）min＝g（）0，解得m≤﹣3；

綜上可得，存在m，可知m的取值范圍是（，）．