Question

【題目】在創建“全國文明衛生城”過程中，某市“創城辦”為了調查市民對創城工作的了解情況，進行了一次創城知識問卷調查（一位市民只能參加一次）．通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的100人的得分統計結果如表所示：

組別	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
頻數	2	15	20	25	24	10	4

（I）由頻數分布表可以大致認為，此次問卷調查的得分Z服從正態分布N（μ，198），μ近似為這100人得分的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表），利用該正態分布，求P（37＜Z≤79）；

（II）在（I）的條件下，“創城辦”為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：

①得分不低于μ的可以獲贈2次隨機話費，得分低于μ的可以獲贈1次隨機話費；

②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：

贈送話費的金額（單元：元）	20	40
概率

現有市民甲參加此次問卷調查，記ξ（單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求ξ的分布列與數學期望．附：參考數據與公式：14．

若X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；P（μ2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0.8185．（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意求出Ez＝65，從而μ＝65，進而P（51＜Z≤79）＝0.6826，P（37＜Z≤93）＝0.9544．由此能求出P（37＜Z≤79）．

（Ⅱ）由題意知P（Z＜μ）＝P（Z≥μ），獲贈話費ξ的可能取值為20，40，60，80．分別求出相應的概率，由此能求出的分布列和Eξ．

解：（Ⅰ）由題意得Ez＝35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.24+5×0.1+95×0.04＝65．

∴μ＝65，∵σ14，

∴P（65﹣14＜Z≤65+14）＝P（51＜Z≤79）＝0.6826，

P（65﹣2×14＜Z≤65+2×14）＝P（37＜Z≤93）＝0.9544，

∴P（31＜Z≤51）[P（37＜Z≤93）﹣P（51＜Z≤79）]＝0.1359

綜上P（37＜Z≤79）＝P（37＜Z≤51）+P（51＜Z≤79）≈0.1359+0.6826＝0.8185．

（Ⅱ）由題意知P（Z＜μ）＝P（Z≥μ），

獲贈話費ξ的可能取值為20，40，60，80．

P（ξ＝20）；

P（ξ＝40）；

P（ξ＝60）；

P（ξ＝80）；

ξ 的分布列為：

ξ	20	40	60	80
P

∴Eξ＝2040608037.5．