Question

（2011•浙江模擬）已知拋物線x²=4y，圓C：x²+（y-2）²=4，M（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0）為拋物線上的動點．
（Ⅰ）若y₀=4，求過點M的圓的切線方程；
（Ⅱ）若y₀＞4，求過點M的圓的兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值．

Answer 1

分析：（I）當點M坐標為（4，4）時，設切線：kx-y+4-4k=0，圓心到切線的距離d=

|2-4k|

k2+1

=2，由此能求出切線方程．（Ⅱ）設切線：y-y₀=k（x-x₀），切線與x軸交于點（x0-

y0

k

，0），圓心到切線的距離d=

|-2+y0-kx0|

k2+1

=2，由此能求出兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值．

解答：解：（I）∵y₀=4，∴x₀=4，
當點M坐標為（4，4）時，設切線：y-4=k（x-4）
即kx-y+4-4k=0
圓心到切線的距離d=

|2-4k|

k2+1

=2，
|1-2k|=

k2+1

，
3k²-4k=0，解得k=0或k=

4

3

．
∴切線方程為y=4或4x-3y-4=0．
（Ⅱ）設切線：y-y₀=k（x-x₀），
即：kx-y+y₀-kx₀=0，
切線與x軸交于點（x0-

y0

k

，0），
圓心到切線的距離d=

|-2+y0-kx0|

k2+1

=2，
∴4+y₀²+k²x₀²-4y₀+4kx₀-2x₀y₀k=4k²+4，
化簡得：（x₀²-4）k²+2x₀（2-y₀）k+y₀²-4y₀=0k²+2x₀（2-y₀）k+y₀²-4y₀=0，
設兩切線斜率分別為k₁，k₂，
則k1+k2=

2x0(y0-2)

x02-4

，k1k2=

y02-4y0

x02-4

，
S=

1

2

|(x0-

y0

k1

)-(x0-

y0

k2

)|y0=

1

2

y02

|k1-k2|

|k1k2|

=

1

2

y02

(k1+k2)2-4k1k2 (k1k2)2

=

1

2

y02

4x02(y0-2)2-4(x02-4)(y02-4y0) (y02-4y0)2

=

2y0 x02+y02-4y0

y0-4

=

2y02

y0-4

=2[

16

y0-4

+(y0 -4)+8]
≥2(2

16 y0-4 •(y0-4)

+8)
=32．
當且僅當

16

y0-4

=y0-4，即y₀=8時取等號．
故兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值為32．

點評：本題考查直線與拋物線的綜合運用，具體涉及到拋物線的基本性質及應用，直線與拋物線的位置關系、圓的簡單性質等基礎知識，軌跡方程的求法和點到直線的距離公式的運用，易錯點是均值定理的應用．解題時要認真審題，仔細解答．