Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+mlnx，其中m為常數(shù)．
（1）當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及f（x）的極值點(diǎn)．
（3）當(dāng)n≥3，n∈N時(shí)，證明：

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，通過m＞

1

2

，x＞0，可判導(dǎo)數(shù)為正，可推f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）對(duì)m進(jìn)行分類討論，分別依據(jù)極值的定義進(jìn)行分析，注意分類要做到不重不漏；
（3）要證明的問題即是當(dāng)m=-1時(shí)的函數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=（x-1）²+mlnx，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
f′（x）=2（x+1）+

b

x

=

2x2-2x+m

x

=

2(x- 1 2 )2+m- 1 2

x

（x＞0）
當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，可知f′（x）＞0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）由（1）知，當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，沒有極值點(diǎn)．
當(dāng)m=

1

2

時(shí)，f′(x)=

2(x- 1 2 )2

x

≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，沒有極值點(diǎn)．
當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，令f'（x）=0得，x1=

1- 1-2m

2

，x2=

1+ 1-2m

2

…（6分）
①當(dāng)m≤0時(shí)，x1=

1- 1-2m

2

≤0∉(0，+∞)，則x2=

1+ 1-2m

2

≥1∈(0，+∞)，
列表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由此看出，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）有唯一極小值點(diǎn)x2=

1+ 1-2m

2

．…（8分）
②當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，0＜x₁＜x₂＜1，
列表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由此看出，當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，f（x）有極大值點(diǎn)x1=

1- 1-2m

2

和極小值點(diǎn)x2=

1+ 1-2m

2

．
綜上，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）有唯一極小值點(diǎn)x2=

1+ 1-2m

2

，
當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，f（x）有極小值點(diǎn)x1=

1- 1-2m

2

和極大值點(diǎn)x2=

1+ 1-2m

2

．…（10分）
（3）由（2）知，m=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，
此時(shí)，函數(shù)f（x）有唯一極小值點(diǎn)x=

1+ 1-2m

2

=

1+ 3

2

，
當(dāng)x∈(0，

1+ 3

2

)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在(0，

1+ 3

2

)上是減函數(shù)，
∵n≥3時(shí)，0＜1＜1+

1

n

＜

4

3

＜

1+ 3

2

，
∴f(1+

1

n

)＜f(1)，即

1

n2

-ln(1+

1

n

)＜0
∴n≥3時(shí)，

1

n2

＜ln(n+1)-lnn．
令函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx（x＞0），則h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∵n≥3時(shí)，1＜1+

1

n

，∴h(1+

1

n

)＞f（1），即

1

n

-ln(1+

1

n

)＞0
∴n≥3時(shí)，ln（n+1）-lnn＜

1

n

綜上，當(dāng)n≥3，n∈N時(shí)，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題為導(dǎo)數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，涉及分類討論的思想和極值的求解，屬中檔題．