Question

已知橢圓：上一點及其焦點滿足

⑴求橢圓的標準方程。
⑵如圖，過焦點F₂作兩條互相垂直的弦AB，CD，設弦AB，CD的中點分別為M，N。
①線段MN是否恒過一個定點？如果經過定點，試求出它的坐標，如果不經過定點，試說明理由；
②求分別以AB，CD為直徑的兩圓公共弦中點的軌跡方程。

Answer 1

，其軌跡是過定點的圓，MN恒過定點

解：⑴ ………………………3分
⑵①設直線AB的方程為：并整理得：

{007}設，則有：

所以點            …………3分
，∴將t換成，即得：   …………5分
由兩點式得直線MN的方程為

當y=0時，所以直線MN恒過定點。          …………7分
②以弦AB為直徑的圓M的方程為：
①…………9分
又將t換成，即得以弦CD為直徑的圓N的方程為：
②…………10分
①—②得兩圓公共弦所在直線方程為：③
又直線MN的方程為：④…………12分
聯解③④，消去，得兩圓公共弦中點的軌跡方程為：
。
其軌跡是過定點的圓。…………13分