Question

如下圖所示,在直角坐標系中,射線在第一象限,且與軸的正半軸成定角,動點在射線上運動,動點在軸的正半軸上運動,的面積為.

（Ⅰ）求線段中點的軌跡的方程;

（Ⅱ）是曲線上的動點, 到軸的距離之和為,

設為到軸的距離之積.問:是否存在最大的常數,

使恒成立?若存在,求出這個的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）（）（2）

解析:

（1）射線.               

設（），

則，                          

又因為的面積為，所以；          

  消去得點的軌跡的方程為：（）.

（2）設，則，              

     所以

                     

     令則，所以有，   

則有：當時，，

所以在上單調遞減，

所以當時，，     

所以存在最大的常數使恒成立.