Question

已知函數y=

x

x-1

，則下列四個命題中錯誤的是（　　）

• A．該函數圖象關于點（1，1）對稱
• B．該函數的圖象關于直線y=2-x對稱
• C．該函數在定義域內單調遞減
• D．將該函數圖象向左平移一個單位長度，再向下平移一個單位長度后與函數y=

  1

  x

  的圖象重合

Answer 1

分析：由于y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

，把y=

1

x

向右，向上分別平移1個單位即可得到y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的圖象，從而可得y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的圖象可判斷選項A，D
由于函數y=

1

x

的圖象關于y=-x對稱，根據函數的圖象的平移可知函數y=

x

x-1

的圖象關于y=-（x-1）+1=2-x對稱；y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

在（1，+∞），（-∞，1）單調遞減，但在整個定義域內不具備單調性，

解答：解：∵y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

把y=

1

x

向右，向上分別平移1個單位即可得到y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的圖象，從而可得y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的圖象關于點（1，1）對稱，故A正確，D正確
由于函數y=

1

x

的圖象關于y=-x對稱，根據函數的圖象的平移可知函數y=

x

x-1

的圖象關于y=-（x-1）+1=2-x對稱，故B正確
y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

在（1，+∞），（-∞，1）單調遞減，但在整個定義域內不具備單調性，故C錯誤
故選C

點評：本題主要考察了函數的圖象的平移，函數的單調性及函數的對稱性的應用，解題的關鍵是以反比例函數為模型，結合函數的圖象變換