Question

（本小題滿分12分）
如圖，A、B分別是橢圓的公共左右頂點，P、Q分別位于橢圓和雙曲線上且不同于A、B的兩點，設直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄且k₁+k₂­+k₃+k₄=0。
（1）求證：O、P、Q三點共線；（O為坐標原點）
（2）設F₁、F₂分別是橢圓和雙曲線的右焦點，已知PF₁//QF₂，求的值。

Answer 1

略

（1）設，則

  ………………2分
又
所以
…………4分
由
即
所以O、P、Q三點共線  ………………6分
（2）
由PF₁//QF₂知|OP|：|OQ|=
因為O、P、Q三點共線，
所以 …………① …………7分
設直線PQ的斜率為k，則
 …………②
由①②得  ………………10分
又
  ………………12分
從而
  6…………14分