Question

已知等差數列{a_n}的公差d＞0，且a₄+a₆=10，a₄•a₆=24．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

1

an•an+1

(n∈N*)，數列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n≥M對任意n∈N*恒成立，求整數M的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意知

(a1+3d)+(a1+5d) =10 (a1+3d)(a1+5d) =24

，由此可求出．數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由bn=

1

an•an+1

，n∈N*，a_n=n，知bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此可知T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1-

1

2

) +(

1

2

-

1

3

)  +…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．由此能夠導出M的最大值是0．

解答：解：（Ⅰ）依題意知

(a1+3d)+(a1+5d) =10 (a1+3d)(a1+5d) =24

，
∵d＞0，∴a₁=1，d=1．∴a_n=n，n∈N^*．
（Ⅱ）∵bn=

1

an•an+1

，n∈N*，a_n=n，
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1-

1

2

) +(

1

2

-

1

3

)  +…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．
由T_n≥M對一切實數恒成立，即1-

1

n+1

≥M對一切n∈N^*恒成立．
當n∈N^*時，∵Tn+1-Tn=(1-

1

n+2

)-(1-

1

n+1

) =

1

n+1

-

1

n+2

＞0，
∴數列T_n是增數列，故由T_n≥M對一切實數恒成立可得T₁≥M，即M≤

1

2

．
又M∈Z，故M的最大值是0．

點評：本題考查等差數列的概念、通項公式、數列求和、數列單調性等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力．