Question

已知等差數列{a_n}，公差d不為零，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比數列；
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足bn=an•3n-1，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列和等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（1）由a₂，a₅，a₁₄成等比數列，
∴(a5)2=a2a14，
即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得，d=2或d=0（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）由（1）可得：bn=(2n-1)•3n-1，
∴Sn=1×1+3×31+5×32+…+（2n-1）•3^n-1，
3Sn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
∴兩式相減得：
-2Sn=1+2×(3+32+…+3n-1)-(2n-1)•3ⁿ=1+2×

3(3n-1-1)

3-1

-(2n-1)•3n=1+3ⁿ-3-（2n-1）•3ⁿ
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評：本題考查了等比數列和等差數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，屬于中檔題．