Question

若函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）的極大值為3，求a的值．

Answer 1

分析：由f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R），知f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x，令f′（x）=0，解得x₁=-a或x₂=-2，由a≤2，且f（x）的極大值為3，能求出實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：由于f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x
=[x²+（2+a）x+2a]e^x
=（x+a）（x+2）e^x
令f′（x）=0，解得 x=-a或x=-2，
又∵a≤2，∴-a≥-2．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化如下表所示：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由表可知，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值3，即f（-2）=[（-2）²-2a+a]e^-2=3，解得a=4-3e²．
故若函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）的極大值為3，則a的值為4-3e²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)的極大值求參數(shù)問題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．