Question

【題目】如圖甲，在等腰梯形中，，，是的中點.將沿折起，使二面角為，連接，得到四棱錐（如圖乙），為的中點，是棱上一點.

（1）求證：當為的中點時，平面平面；

（2）是否存在一點，使平面與平面所成的銳二面角為，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在；

【解析】

（1）由題易證得,根據等腰三角形的性質可得,,則平面,由平行線的性質可知平面,則,再利用可得,即可求證；

（2）由題以為原點,為坐標軸建立空間坐標系,設,,分別求得平面與平面的法向量,進而利用數量積求解即可.

（1）證明:連接,,

由題,因為,為的中點,所以,

因為是的中點,所以,

又,所以四邊形是平行四邊形,所以,即,

所以,且,

又,所以平面,

因為,所以平面,

因為平面,所以,

又因為,為的中點,所以,

又,所以平面.

又平面,所以平面平面.

（2）解:存在,

以為原點,為坐標軸建立如圖所示的坐標系,如圖所示,

不妨設棱長,由（1）可知是等邊三角形,

則,,,,

設,且,,

則,

可得,則,,

設是平面的一個法向量,

則,即,

令,則,

由（1）知平面,則是平面的一個法向量,

若存在點,使平面與平面所成的銳二面角為,

則,

解得,

所以存在點,使平面與平面所成的銳二面角為,此時.