Question

給出下列四個命題：
①函數y=

1

2

ln

1-cosx

2

與y=lnsin

x

2

是同一函數；
②若偶函數f（x）對定義域內任意x都有f（x）=f（2-x），則f（x）為周期函數；
③函數f(x)=2+x3sin(x+

π

2

)在區間，[-a，a]（a＞0）上的最大值與最小值的和為4；
④已知f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導函數，且f（x）＜f′（x）對于x∈R恒成立，則f（2）＞e²•f（0）．
其中真命題的所有序號是

 

．

Answer 1

分析：利用某些函數的性質和轉化關系是判斷各個命題真假的關鍵，利用好對數函數的運算性質、抽象函數奇偶性、對稱性與周期性的關系、奇偶性與單調性在求函數最值中的應用、導函數與原函數之間的關系等．

解答：解：由于y=

1

2

ln

1-cosx

2

=ln

1-cosx 2

=ln|sin

x

2

|，
故函數y=

1

2

ln

1-cosx

2

與y=lnsin

x

2

不是同一函數，故①錯誤；

f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x），又f（x）=f（2-x），從而f（-x）=f（2-x），
即f（x）=f（2+x），因此f（x）為周期函數，故②正確；

函數f(x)=2+x3sin(x+

π

2

)=2+x3cosx，設g（x）=x³cosx，x∈[-a，a]為奇函數，設g（x）在[-a，a]上的最大值為M，則g（x）在[-a，a]上的最小值為-M，于是f（x）在[-a，a]上的最大值為2+M，則g（x）在[-a，a]上的最小值為2-M，因此f（x）在[-a，a]上的最大值與最小值的和為4；故③正確；

考慮g(x)=

f(x)

ex

，則g′(x)=

f′(x)ex-f(x)ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

，由于f（x）＜f′（x），故g′（x）＞0（x∈R），故g（x）在x∈R上單調遞增，得到g（2）＞g（0），即f（2）＞e²•f（0），故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查函數的性質及其應用，關鍵要熟悉相關的知識進行轉化與求解，考查學生的等價轉化思想，構造函數解決問題．屬于中檔題．