Question

【題目】設l為曲線C：y= 在點（1，0）處的切線．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）證明：除切點（1，0）之外，曲線C在直線l的下方．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵y=
∴
∴l的斜率k=y′|x=1=1
∴l的方程為y=x﹣1
（Ⅱ）證明：令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）
曲線C在直線l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0，
則f′（x）=2x﹣1﹣ =
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）時，f（x）＞0，即 ＜x﹣1
x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，即 ＜x﹣1
即除切點（1，0）之外，曲線C在直線l的下方
【解析】（Ⅰ）求出切點處切線斜率，代入代入點斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用導數分析函數的單調性，進而分析出函數圖象的形狀，可得結論．