Question

【題目】已知函數f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；
（2）當x∈[0，+∞）時，求函數y=g（x）﹣f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（3x+1），g（x）≥f（x），

∴3x+1≥x+1＞0，

∴x≥0．

即使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍為[0，+∞）

（2）

解：∵y=g（x）﹣f（x）

=log2（3x+1）﹣log2（x+1）

=log2 （x≥0）．

令h（x）= =3﹣ ，

則h（x）為[0，+∞）上的增函數，

∴1≤h（x）＜3，

故y=g（x）﹣f（x）∈[0，log23]，

即函數y=g（x）﹣f（x）的值域為[0，log23]

【解析】（1）利用對數函數y=log2x的單調性即可求得g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；（2）分析函數y=g（x）﹣f（x）的單調性，結合x∈[0，+∞）可得函數y=g（x）﹣f（x）的值域．
【考點精析】利用對數函數的定義域和對數函數的單調區間對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知對數函數的定義域范圍:（0，+∞）；a變化對圖象的影響：在第一象限內,a越大圖象越靠低；在第四象限內,a越大圖象越靠高．