Question

(本小題滿分12分)有對(duì)稱中心的曲線叫有心曲線，如圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線，過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑，有心曲線有許多類似的優(yōu)美性質(zhì)。

（1）定理：過圓上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與直徑兩端點(diǎn)的連線斜率之積為定值．試寫出該定理在橢圓中的類似結(jié)論；

（2）定理：圓的兩條互相垂直的直徑稱為共軛直徑，且這兩條共軛直徑與圓相交得到的四邊形的面積為定值．在橢圓中兩條斜率之積為的直徑稱為共軛直徑，試探究橢圓中兩條共軛直徑與橢圓相交得到的四邊形的面積的類似結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

（2）依題意橢圓中有類似定理：

橢圓的兩條直徑的斜率之積為時(shí)，稱為共軛直徑．特別地，當(dāng)一條直徑的斜率不存在，另一條直徑的斜率為零時(shí)也稱為共軛直徑．兩條共軛直徑與橢圓相交得到的四邊形的面積為定值2ab．    ………………………………………………………………8分

證明：①當(dāng)兩條共軛直徑為橢圓的長(zhǎng)短軸時(shí)，對(duì)應(yīng)的四邊形面積為2ab．……… 9分

②一般地，可設(shè)直徑AC的斜率為k，則共軛直徑BD的斜率為（k≠0），

設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），

由  ，

，

同理可得 ，

D到直線AC的距離為，

∴S_{四邊形ABCD}＝|AC|·d＝為定值. ………12分