Question

【題目】若動點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離之和為．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并在答題卡所示位置畫出方程的曲線草圖；

（2）（理）記（1）得到的軌跡為曲線，問曲線上關(guān)于點(diǎn)對稱的不同點(diǎn)有幾對？請說明理由．

（3）（文）記（1）得到的軌跡為曲線，若曲線上恰有三對不同的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的軌跡方程為，作圖見解析 （2）答案不唯一 ，見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)條件列方程，化簡即得軌跡方程，再根據(jù)軌跡形狀畫圖；

（2）結(jié)合圖象易得關(guān)于軸對稱點(diǎn)的個數(shù)，再利用方程求解不關(guān)于軸對稱點(diǎn)的個數(shù)，最后綜合得結(jié)果；

（3）結(jié)合圖象易得關(guān)于軸對稱點(diǎn)的有一對，再利用方程求解不關(guān)于軸對稱點(diǎn)的對數(shù)為兩對的條件，即得結(jié)果.

解：、設(shè)，由題意

①：當(dāng)時，有，化簡得：

②：當(dāng)時，有，化簡得：（二次函數(shù)）

綜上所述：點(diǎn)的軌跡方程為（如圖）

、（理）當(dāng)或顯然不存在符合題意的對稱點(diǎn)

當(dāng)時，注意到曲線關(guān)于軸對稱，至少存在一對（關(guān)于軸對稱的）對稱點(diǎn)

下面研究曲線上關(guān)于對稱但不關(guān)于軸對稱的對稱點(diǎn)

設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn)，則，它關(guān)于的對稱點(diǎn)為，由于點(diǎn)在軌跡上，

所以，

聯(lián)立方程組（*）得，

化簡得

①當(dāng)時，，此時方程組(*)有兩解，即增加有兩組對稱點(diǎn)。

②當(dāng)時，，此時方程組(*)只有一組解，即增加一組對稱點(diǎn)。（注：對稱點(diǎn)為，）

③當(dāng)時，，此時方程組(*)有兩解為，沒有增加新的對稱點(diǎn)。

綜上所述：

（3）、（文）若，則，所以曲線關(guān)于軸對稱，

所以一對存在關(guān)于軸對稱的對稱點(diǎn)

下面研究曲線上關(guān)于對稱但不關(guān)于軸對稱的對稱點(diǎn)

設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn)，則，它關(guān)于的對稱點(diǎn)為，由于點(diǎn)在軌跡上，

所以，聯(lián)立方程組（*）得，化簡得

當(dāng)時，，此時方程組(*)有兩解，即增加有兩組對稱點(diǎn)。

所以的取值范圍是