Question

【題目】已知，函數

(1)討論函數的單調性；

(2)若是的極值點，且曲線在兩點， 處的切線互相平行，這兩條切線在y軸上的截距分別為、，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據導數和函數的關系即可求出函數的單調區間，

（2）由x＝2是f（x）的極值點，以及導數的幾何意義，可求出相對應的切線方程，根據切線平行可得，同理，．求出b1﹣b2，再構造函數，

利用導數，即可求出b1﹣b2的取值范圍

（1），

①當a≤0時，f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

②當a＞0時，時f'（x）＜0，時，f'（x）＞0，

即f（x）在上單調遞減，在單調遞增；

（2）∵x=2是f（x）的極值點，∴由（1）可知，

∴a=1，設在P（x1，f（x1））處的切線方程為，

在Q（x2，f（x2））處的切線方程為

∴若這兩條切線互相平行，則，∴

∵，且0＜x1＜x2＜6，∴，∴，

∴x1∈（3，4）令x=0，則，

同理，．

【解法一】

∵，∴

設，

∴

∴g（x）在區間上單調遞減，∴

即b1-b2的取值范圍是．

【解法二】

∵，

∴

令，其中x∈（3，4）

∴

∴函數g（x）在區間（3，4）上單調遞增，∴

∴b1-b2的取值范圍是．

【解法三】

∵x1x2=2（x1+x2），

∴

設，則

∵，∴g'（x）＞0，

∴函數g（x）在區間上單調遞增，

∴，∴b1-b2的取值范圍是．