Question

【題目】已知函數.

（1）求的單調區間；

（2）記的最大值為，若且，求證：；

（3）若，記集合中的最小元素為，設函數，求證：是的極小值點.

Answer 1

【答案】（1）增區間為，減區間為；（2）見解析；（3）見解析

【解析】分析：（1）分別解不等式和可得的增區間和減區間.

（2），根據得到，把該式變形為，證明函數不等式在恒成立即可.

（3）根據（1）中函數的單調性及可得，因此 ，分別討論函數在的單調性可判斷是的極小值點.

詳解：（1），

因為由，得；

由，得；

所以，的增區間為，減區間為.

（2）由（1）知，.

∴，∴，

∴，∴ ，∴，

設，則，

所以，在上單調遞增，，則，因，

故，，所以.

（3）由（1）可知，在區間單調遞增，又時，，

易知，在遞增，，

∴，且時，；時，.

當時，

于是時，， （所以，若證明，便能證明），

記，

則，∵，∴，

∴在內單調遞增，∴，

∵，

∴在 內單調遞增.

∴，于是時，

，

∴在遞減.

當時，相應的，

∴在遞增.故是的極小值點.