Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（，為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程；

（2）在曲線上取兩點，與原點構成，且滿足，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）求出直線l的直角坐標方程為y2，曲線C是圓心為（，1），半徑為r的圓，直線l與曲線C相切，求出r＝2，曲線C的普通方程為（x）2+（y﹣1）2＝4，由此能求出曲線C的極坐標方程．（2）設M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），由2sin（2），由此能求出△MON面積的最大值．

（1）∵直線l的極坐標方程為，

∴由題意可知直線l的直角坐標方程為y2，

曲線C是圓心為（，1），半徑為r的圓，直線l與曲線C相切，

可得r2，

∵曲線C的參數方程為（r＞0，φ為參數），

∴曲線C的普通方程為（x）2+（y﹣1）2＝4，

所以曲線C的極坐標方程為ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，

即．

（2）由（Ⅰ）不妨設M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），

4sin（）sin（）＝2sinθcosθ+2

＝sin2θ2sin（2），

當時，，故

所以△MON面積的最大值為2．