Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π
（1）若|

OA

+

OC

|=

7

，求

OB

與

OC

的夾角；
（2）若AC⊥BC，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算求出

OA

+

OC

；利用向量模的坐標公式得到三角函數方程，求出α；求出兩個向量的夾角．
（2）利用向量的坐標公式求出兩個向量的坐標；利用向量垂直的充要條件列出方程求出cosa+sina=

1

2

；利用三角函數的平方關系將此等式平方求出cosα-sinα；求出sinα，cosα；利用三角函數的商數關系求出tanα．

解答：解：（1）∵

OA

+

OC

=（2+cosα，sinα），|

OA

+

OC

|=

7

∴（2+cosα）²+sin²a=7，
∴cosα=

1

2

又α∈（0，π），
∴α=

π

3

，即∠AOC=

π

3

又∠AOB=

π

2

，∴OB與OC的夾角為

π

6

；
（2）

AC

=（cosα-2，sinα），

BC

=（cosα，sinα-2），
∵AC⊥BC，∴

AC

•

BC

=0，cosα+sinα=

1

2

①
∴（cosα+sinα）²=

1

4

，∴2sinαcosα=-

3

4

∵α∈（0，π），∴α∈（

π

2

，π），
又由（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=

7

4

，cosα-sinα＜0，
∴cosα-sinα=-

7

2

②由①、②得cosα=

1- 7

4

，sinα=

1+ 7

4

，
從而tanα=-

4+ 7

3

．

點評：本題考查向量模的坐標公式、考查向量垂直的充要條件、考查三角函數的平方關系、商數關系、
考查cosα+sinα、cosα-sinα、2sinαcosα三者知二求一．