Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且α∈（0，π）．
（1）若|

OA

+

OC

|=

7

，求

OB

與

OC

的夾角的余弦值．
（2）若

AC

⊥

BC

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）由|

OA

+

OC

|=

7

得出cosα與sinα所滿足的條件，將其代入

OB

與

OC

的夾角的余弦公式中求出余弦值即可．
（2）兩向量垂直，則它們的內(nèi)積為0，由此建立關(guān)于cosα，sinα的方程由此方程結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求出正切值即可．

解答：解：（1）∵由|

OA

+

OC

|=

7

，A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴（2+cosα）²+sin²α=7，解得cosα=

1

2

OB

與

OC

的夾角的余弦值為

OB • OC

| OB || OC |

=

2sinα

2

=sinα=

1-cos2α

=

3

2

OB

與

OC

的夾角的余弦值是

3

2

（2）∵

AC

⊥

BC

∴

AC

•

BC

=0又

AC

=（cosα-2，sinα），

BC

=（cosα，sinα-2），
∴cos²α-2cosα+sin²α-2sinα=0
即cosα+sinα=

1

2

即1+2cosαsinα=

1

4

即

tanα

1+tan 2α

=-

3

8

，解得tanα=-

4± 7

3

又由cosα+sinα=

1

2

及向量夾角的取取值范圍知，α是個鈍角且正弦的絕對值大于余弦的絕對值
故tanα=-

4+ 7

3

點評：本題考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角以及三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，求解此類題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用公式時行變形，以及正確運算，莫因馬虎算錯導(dǎo)致前功盡棄．