Question

【題目】四棱錐的底面是邊長的菱形，，的中點是頂點在底面的射影，是的中點.

(1)求證：面平面；

(2)若，求面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

(1)首先可以根據是頂點在底面的射影得出，然后根據底面是邊長的菱形且得出，再然后通過線面垂直的相關性質即可得出平面，最后根據平面即可得出結果；

(2)以為軸建立空間直角坐標系，然后求出平面的法向量以及平面的一個法向量為，最后通過即可求出二面角的余弦值.

(1)因為是頂點在底面的射影，

所以平面，，

因為底面是邊長的菱形，，是的中點，

所以，平面，

因為平面，

所以平面平面，

(2)

如圖，以為軸建立空間直角坐標系，則：

，，，，，

所以，，

設平面的法向量為，則，，

即，解得其中一個解為，

同理可求得平面的一個法向量為

故二面角的余弦值.