Question

已知二次函數f(x)＝ax²＋bx＋c的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0且0<x<c時，f(x)>0，
(1)證明：是f(x)＝0的一個根；
(2)試比較與c的大小；
(3)證明：－2<b<－1.

Answer 1

（1）見解析   （2）>c.   （3）見解析

解：(1)證明：∵f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點，
∴f(x)＝0有兩個不等實根x₁，x₂，
∵f(c)＝0，
∴x₁＝c是f(x)＝0的根，
又x₁x₂＝，
∴x₂＝ (≠c)，
∴是f(x)＝0的一個根．
(2)假設<c，又>0，
由0<x<c時，f(x)>0，
知f()>0與f()＝0矛盾，∴≥c，
又∵≠c，∴>c.
(3)證明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac.
又a>0，c>0，∴b<－1.
二次函數f(x)的圖象的對稱軸方程為
x＝－＝<＝x₂＝，
即－<.
又a>0，∴b>－2，
∴－2<b<－1.